一、数列是高中数学的重要内容之一，其地位和作用体现在以下几个方面：
(1）数列是一种特殊的函数，它既与函数等知识有密切的关系，又丰富了函数的内容，通过本章学习，可以感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性；
(2）数列有着广泛的实际应用，是反映自然规律的基本数学模型，例如，储蓄、分期付款等有关计算要用到数列的知识，数列的学习有助于培养建模能力，发展应用意识；
(3）通过本章学习可以进一步提高数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养，提高数学学习能力。
创造世间万物的“兔子数列”与了不起的列奥纳多
二、本章需要掌握的内容有：
8个重要概念：数列、数列的通项公式、数列的递推公式、数列的前 n 项和、等差数列、等差中项、等比数列、等比中项；
4个重要公式：等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式；
5种重要关系：数列与函数、等差数列与一次函数、等比数列与指数函数、数列的前n项和与通项、数列的递推公式与通项；
12种重要方法：累加法、累乘法、迭代法、构造法、基本量法、性质法、分组求和法、并项求和法、裂项相消求和法、倒序相加法、错位相减求和法、数学归纳法。
三、思想方法归纳
1，函数与方程的思想
由于数列可以看成定义域为正整数集或正整数集的有限子集的函数在自变量从小到大取值时对应的一列函数值，因此在研究某些数列问题时，利用函数思想既易于理解问题的本质，又简化了运算，如求等差数列前n项和的最值时，构建二次函数则简洁明了。此外，在求等差数列或等比数列的基本量（a1与d或q）时，往往要利用方程思想，构建关于基本量的方程（组）。
斐波那契数列 fibonacci sequence
2，分类与整合的思想
数列中的某些问题，往往要利用分类与整合的思想来解决。如运用等比数列前n项和公式时，若公比q的取值未知，则需要对q是否为1进行分类讨论；由Sn求an时，需要分n=1和n≥2两种情况进行分类讨论；求某些数列的前n项和时，需要对n进行分类讨论。通过分类讨论可以将复杂问题简单化，解题时要注意分类标准的确定。
3，化归与转化的思想
化归与转化的思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法，常利用化归与转化的思想解决两类重要的递推数列问题，由于高考中屡屡出现此两类问题，故熟练掌握这种思想方法是很有必要的。
4，数形结合的思想
在研究等差数列和等比数列的通项公式和前n项和Sn时，有时候需借助图象研究它们的最值和单调性等。
斐波那契数列与黄金分割的关系
四、专题归纳总结
1，求数列的通项公式
a，观察法：给定一个数列的前几项，通过观察分析项与其序号之间的关系，从而归纳出一般规律，得到数列的通项公式。
b，由Sn与an的关系求数列的通项公式
由Sn与an构成的递推关系式，求数列的通项公式的方法有两种：
(1）利用an=S1(n=1);an=Sn-Sn-1(n≥2)
消去Sn,建立an的递推关系式，并求an;(2）利用an=Sn- Sn-1(n≥2）代换消去an，建立Sn的递推关系式，求出Sn后，再求an。
c，由递推关系式求数列的通项公式
由数列的递推关系式求数列的通项公式，通常需要对数列的递推关系式进行化归，通过累加法、累乘法求通项，或构造等差数列、等比数列求通项，常见的类型有：
(1）形如an 1=an f(n)，求an;
强调：当已知数列中相邻两项的差的递推关系，即an 1-an=f(n)(n属于N*）时，通常采用累加法求其通项公式，其方法是利用恒等式an=(an-an-1) (an-1-an-2) … (a2-a1) a1求解。
(2)形如an 1=anf(n),求an;
强调：当已知数列中相邻两项的商的递推关系式，即an 1/an=f(n)(n属于N*）时，通常采用累乘法求其通项an，其方法是利用恒等式an=an/an-1xan-1/an-2×… xa2/a1xa1求解。an -
(3）形如an 1=pan q，求an。
2，等差、等比数列的性质及应用
等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值以及数列的“阶段和”，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，一般难度较小。
等差、等比数列的性质有广泛的应用，灵活、合理地运用这些性质可以减少运算量，使解答顺畅简捷。在运用等比数列的有关公式时，注意设而不求思想和整体思想的应用，使运算与思维相结合才能提高运算能力。
斐波那契数列为何被称为数学界的完美公式
3，非基本数列求和的方法
a，倒序相加法
如果一个数列｛an｝的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式就是用此法推导的。
b，分组转化法
如果一个数列的通项公式可写成cn=an±bn的形式，而数列 {an},{bn｝是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可以采用分组转化法求和。
c，裂项相消法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项相消法”，分式的求和多利用此法。可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意各项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，有时为了得到规律，前后可多写几项。
强调：(1）证明数列为等比数列时，在得到 an 1=qan(n属于N*)后，不要忘了证明 a 1≠0，这是容易忽视的步骤；
(2）在用裂项相消法求数列的和时，要注意在相消后剩余的项具有前后对称的特征，即前面剩下了第几项，则后面就剩下倒数第几项，根据此结论可判断结果是否正确。
d，错位相减法
若数列｛an}是等差数列，数列{bn｝是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn｝的各项乘等比数列{bn}的公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和。
4，数列与其他知识的综合应用
数列经常与函数、不等式知识相结合，解决此类问题要抓住一个中心﹣﹣函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理。
类题通法：数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质。
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